Guía de la calculadora

Calculadora graficadora para ingeniería: primeros pasos

La calculadora graficadora reúne en una página lo que normalmente se reparte entre una calculadora científica, una graficadora y varias hojas de cálculo: resultados exactos, gráficas, complejos, matrices, estadística, probabilidad, ecuaciones diferenciales y bases numéricas. Esta guía recorre cada herramienta con un ejemplo real de ingeniería.

1. La línea de entrada y el teclado

Escribe una expresión y pulsa Enter (o la tecla =). Si usas números sin punto decimal, el resultado sale exacto: 1/3+1/6 da 1/2 y sqrt(8) da 2√2. La tecla ≈ (o Ctrl+Enter) da el valor decimal. Toca cualquier entrada del historial para volver a usarla y cualquier resultado para insertarlo; ↑ recupera la entrada anterior.

Las pestañas sobre el teclado (Cálculo, Funciones, Complejos, Matrices, Probabilidad, Bases, Unidades y Constantes) abren el catálogo de funciones con su descripción. El botón de engrane abre Ajustes:

• Unidad angular: grados, radianes o gradianes. El distintivo RAD/DEG de la pantalla cambia entre grados y radianes con un toque.
• Notación: normal, científica, de ingeniería o de ingeniería con prefijos SI, que escribe 0.0047 como 4.7m y 4.7e-12 como 4.7p: práctica para resistencias, capacitores y corrientes.
• Números complejos: a + bi, a + bj o r∠θ.
• Respuestas: exactas cuando es posible, siempre decimales, o fracciones aunque escribas decimales (0.25+0.5 da 3/4). La función frac() hace lo mismo con un solo resultado.

2. Graficar y analizar una función

En Gráficas agregas hasta 9 funciones: y =, desigualdades sombreadas, paramétricas x(t), y(t), polares r(θ) y puntos tomados de las listas. Como ejemplo, la respuesta de un sistema subamortiguado:

5e^(-0.3x)*cos(2x)

Pulsa Zoom ajustar para encuadrar la curva. En Analizar… eliges Raíces (ceros), Máximo, Mínimo, Intersección, Valor en x, dy/dx en un punto (dibuja la tangente) o Integral ∫ de a a b (sombrea el área); puedes elegir a y b tocando la gráfica. Trazar recorre la curva con las flechas ← →. La pestaña Tablas da los valores de todas las funciones con el paso que elijas, listos para copiar a Excel.

3. Números complejos y fasores para circuitos de CA

La unidad imaginaria es i o j, y la forma polar se escribe con ∠ (tecla SHIFT de ×10ˣ): 10∠30 usa la unidad angular activa y 10∠30° siempre está en grados. Para impedancias hay funciones que aceptan números o unidades:

• zR(R), zL(L, f) = jωL y zC(C, f) = 1/(jωC).
• serie(Z1, Z2, …) suma impedancias y paralelo(Z1, Z2, …) las combina en paralelo.

Ejemplo: circuito RLC en serie con R = 100 Ω, L = 100 mH y C = 47 µF a 60 Hz, alimentado con 120 V eficaces:

z := serie(100, zL(100 mH, 60 Hz), zC(47 uF, 60 Hz))
120∠0° / z

La primera línea da z := 100 - 18.7388112392i (Ω): la reactancia capacitiva (56.44 Ω) es mayor que la inductiva (37.70 Ω). La segunda da la corriente 1.15929225844 + 0.217237588019i A; con el formato r∠θ en Ajustes se lee como 1.1795 A ∠ 10.61°. La corriente se adelanta al voltaje: el circuito es capacitivo.

La pestaña Complejos hace lo mismo sin escribir fórmulas. Arriba conviertes cualquier número entre las formas rectangular, polar (grados y radianes) y exponencial, y ves sus raíces n-ésimas en el plano complejo. Abajo, en Circuito de CA (fasores), escribes la frecuencia, el voltaje de la fuente y una lista de elementos R, L, C o Z con prefijos (100m, 47u, 4.7k), cada uno en serie o en paralelo con lo anterior. Para el ejemplo obtienes Z = 101.74∠−10.61° Ω, factor de potencia 0.9829 (adelantado), P = 139.1 W, Q = −26.07 var, S = 141.5 VA y la resonancia f₀ = 73.41 Hz, además del diagrama fasorial de V e I.

4. Matrices y sistemas de ecuaciones

En la pestaña Matrices editas seis matrices, de A a F, de hasta 6 × 6. Las celdas aceptan fracciones, decimales y expresiones como sqrt(2). Debajo están las operaciones: determinante, inversa, transpuesta, rref, rango, traza, valores y vectores propios (λ, v), LU, QR, núcleo, norma, número de condición, valores singulares y potencias.

Ejemplo: análisis de mallas. Un circuito con tres mallas da el sistema R·I = V:

A = [[10, -4, 0], [-4, 12, -6], [0, -6, 9]]     (Ω)
B = [[12], [0], [-5]]                           (V)

Escribe A y B (B de 3 × 1), elige A·x = B en Con dos matrices y pulsa Calcular: I₁ = 31/24 ≈ 1.2917 A, I₂ = 11/48 ≈ 0.2292 A e I₃ = −29/72 ≈ −0.4028 A (el signo indica que esa corriente circula al revés de lo supuesto). Si el sistema no tiene solución, el resultado lo dice («sistema incompatible»), y si tiene infinitas, lo da en forma paramétrica.

Desde la línea de entrada funcionan las mismas operaciones: eigs([[2,-1],[-1,2]]) da λ = 1 y 3 con sus vectores propios, lu(A) muestra P, L y U, y Definir A en la calculadora crea la variable para escribir det(A).

5. Polinomios y transformada de Laplace

En Resolver, el modo Polinomios trabaja con polinomios de cualquier grado: raíces reales y complejas con su multiplicidad, factorización sobre ℚ y sobre ℝ, suma, producto, división con residuo, derivada, integral, evaluación con división sintética y fracciones parciales de P/D.

Para control y circuitos, la línea de entrada tiene apart, laplace e ilaplace. Por ejemplo, la respuesta al escalón de un sistema de segundo orden:

ilaplace(10/(s*(s^2+2s+10)))

da 1 - e^(-t)·(cos(3t) + (1/3)·sin(3t)): el valor final es 1 y la oscilación tiene frecuencia de 3 rad/s. apart((s+3)/(s^2+3s+2)) da 2/(s + 1) - 1/(s + 2) y laplace(e^(-2t)*sin(3t)) da 3/(s² + 4s + 13).

6. Estadística y regresiones

En Listas y estadística capturas datos en las listas L1 a L6 (también puedes pegarlos desde Excel). Con Una variable obtienes media, desviaciones estándar, cuartiles y un histograma o un diagrama de caja con valores atípicos. Con Dos variables eliges el modelo: lineal, cuadrático, cúbico, exponencial, logarítmico, potencial o senoidal.

Ejemplo: ley de Hooke. Con el alargamiento en L1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cm y la fuerza en L2 = 2.1, 3.9, 6.2, 7.8, 10.1, 12.2 N, la regresión lineal da y = 2.02x − 0.02, es decir, k ≈ 2.02 N/cm, con R² = 0.99821 y error estándar sₑ = 0.179 N. La tabla Comparar modelos muestra el R² de cada modelo, y la gráfica de Residuos sirve para decidir: si los residuos se reparten sin patrón alrededor de 0, el modelo lineal es adecuado. Puedes guardar los residuos en otra lista o enviar la curva a Gráficas.

7. Distribuciones de probabilidad

La pestaña Probabilidad calcula P(X ≤ x), P(X ≥ x), P(a ≤ X ≤ b), la densidad (o P(X = k)) y la inversa para las distribuciones normal, t de Student, χ², F, binomial, Poisson, exponencial y uniforme, con el área sombreada en la gráfica, la media y la varianza. Cada resultado muestra la expresión equivalente para la línea de entrada, al estilo de las calculadoras graficadoras.

Ejemplo: control de calidad. Un eje se fabrica con diámetro normal de media 25.00 mm y σ = 0.02 mm; la tolerancia es 25 ± 0.05 mm.

normcdf(24.95, 25.05, 25, 0.02)     → 0.987580669348
binompdf(20, 0.0124, 0)              → 0.779150987081

El 98.76 % de los ejes cumple la tolerancia (1.24 % de rechazo), y en un lote de 20 ejes la probabilidad de no encontrar ninguno defectuoso es 77.9 %. Para fijar un límite que solo supere el 1 % de las piezas, la inversa da invnorm(0.99, 25, 0.02) = 25.0465 mm. Abajo de la página está la combinatoria (n!, nCr y nPr exactos).

8. Ecuaciones diferenciales

La pestaña EDO resuelve problemas de valor inicial de primer orden, sistemas de hasta cuatro ecuaciones y ecuaciones de segundo orden (escribe v o y′ para la primera derivada). El método predeterminado es Dormand–Prince 5(4) con paso adaptativo; también puedes usar RK4, Heun o Euler con paso fijo y comparar su error con la solución de referencia.

Ejemplo: carga de un capacitor. Con R = 1 kΩ, C = 100 µF y una fuente de 12 V, el voltaje cumple v′ = (12 − v)/(RC) con RC = 0.1 s. En el ejemplo Carga de un capacitor (RC) la ecuación es (12 - y)/0.1 con y(0) = 0; con Paso 0.1 en la tabla de valores, en x = 0.1 s (una constante de tiempo) se lee 7.5854 V, el 63.2 % de 12 V, igual que la fórmula 12(1 − e⁻¹). En una ecuación de primer orden se dibuja el campo de pendientes: toca la gráfica para agregar curvas con otras condiciones iniciales. La tabla de valores se copia o se envía a las listas.

Para una sola ecuación también puedes escribir en la línea de entrada odesolve((12-y)/0.1, x, y, 0, 0, 0.1).

9. Bases numéricas y bits

La pestaña Programador trabaja con palabras de 8, 16, 32 o 64 bits, con o sin signo (complemento a dos). Escribes el valor en HEX, DEC, OCT o BIN y ves las cuatro bases a la vez y cada bit como un interruptor. Debajo están AND, OR, XOR, NAND, NOR, XNOR, NOT, cambio de signo, suma, resta, producto, división, desplazamientos y rotaciones, con las banderas C (acarreo), V (desbordamiento), Z (cero) y N (negativo); también el código Gray, BCD y el formato de punto flotante IEEE-754.

Ejemplo: registro de un PLC. Un sensor de temperatura entrega la palabra de 16 bits FF38 con resolución de 0.1 °C. Con 16 bits y Con signo, DEC muestra −200, es decir, −20.0 °C. Para saber si el bit 3 de un registro de estado está encendido, escribe la máscara 0008 en B y pulsa AND: si el resultado no es cero, el bit está activo. En la línea de entrada lo mismo se escribe signed(0xFF38, 16) y bitAnd(0xFF38, 0b1000).

Antes de entregar

Los resultados marcados como Resultado numérico (integrales, ecuaciones diferenciales, distribuciones, valores propios de matrices no simétricas) se calculan con métodos numéricos de alta precisión, pero no son simbólicos: redondéalos según las cifras significativas de tus datos. Cuando una respuesta se pueda comprobar, compruébala: sustituye las raíces en el polinomio, multiplica A por x o deriva la solución de la ecuación diferencial.